Sovellettu matematiikka

Sovellettu matematiikka

Sovelletun matematiikan tutkimus LUT-yliopistossa keskittyy epävarmuuden mallintamiseen, inversio-ongelmiin, numeeriseen analyysiin ja laskennalliseen tilastotieteeseen. Olemme osa Suomen Akatemian Matemaattisen mallinnuksen, havainnoinnin ja kuvantamisen lippulaivaa (2024-2031) sekä Inversiomallinnuksen ja kuvantamisen huippuyksikköä (2018-2025). Lippulaiva ja huippuyksikkö toimivat verkostomaisesti ja LUTin lisäksi muita kumppaneita ovat Helsingin yliopisto, Aalto-yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Ilmatieteen laitos.

Inversio-ongelmat

Inversio- eli käänteisiä ongelmia esiintyy monilla tieteen eri alueilla, kuten sääilmiöiden mallintamisessa, lääketieteellisessä kuvantamisessa, kuvankäsittelyssä, matemaattisessa taloustieteessä, tähtitieteessä ja geofysiikassa. Useimmiten inversio-ongelma kääntää tavanomaisen tiedeongelman päälaelleen. Esimerkki tavanomaisesta kysymyksestä voisi olla seuraava: jos tunnemme henkilön sisäelinten rakenteet, millaisia röntgenkuvia saamme hänestä? Tavanomaista ongelmaa vastaava inversio-ongelma puolestaan kysyy: jos tunnemme henkilöstä saatavat röntgenkuvat eri suunnista, pystymmekö rakentamaan tarkan kolmiulotteisen mallin hänen sisäelimistään? Tällaista kysymyksenasettelua kutsutaan tietokonetomografiaksi.

Tyypillisesti inversio-ongelma on paljon mutkikkaampi kuin sitä vastaava suora ongelmanasettelu. Luotettavat inversio-ongelmien ratkaisumenetelmät vaativat räätälöityjä algoritmeja, jotka osaavat tulkita kohinaista mittausdataa. Tutkimuksemme keskittyy epävarmuuden mallintamiseen inversio-ongelmissa Bayesiläisen tilastotieteen voimin. Tutkimme kuinka mitatun datan tilastolliset virheet kulkeutuvat inversio-ongelmien ratkaisuihin monimutkaisten matemaattisten mallien läpi.

Epävarmuuden mallintaminen

Bayesiläisessä tilastotieteessä approksimaatio- ja inversio-ongelmat muotoillaan kysymyksenä informaatiosta: mitä tiedämme eri ratkaisukandidaattien todennäköisyyksistä? Yhdistämällä kaikki etukäteis- eli prioritieto todellisiin mittaustuloksiin saadaan Bayesin kaavan avulla malli näille todennäköisyyksille eli posteriorijakaumalle. Posterijakauman tulkitseminen on kuitenkin haastavaa: miten tulkitaan tehokkaasti todennäköisyysjakaumia avaruuksissa, joilla on miljoonia ulottuvuuksia? Ryhmämme kehittää laajasti teoreettisia kuin myös laskennallisia työkaluja bayesiläisten menetelmien käyttöön, jotta tämän päivän valtavat datamassat saadaan hyödynnettyä parhaalla mahdollisella tavalla.

Kehitämme teoriaa, numeerisia algoritmeja ja käytännön algoritmisia toteutuksia liittyen epävarmuuden mallintamiseen inversio-ongelmissa ja numeerisessa analyysissa. Tutkimuksemme kuuluu moderniin kasvavaan tieteenalaan sovelletun matematiikan ja tilastotieteen välimaastossa. Ala on vahvasti poikkitieteellinen ja mahdollistaa tuoreiden matemaattisten oivallusten kulkeutumisen tieteen suurimpien haasteiden avuksi.

Numeerinen analyysi ja laskennallinen tilastotiede

Nykyaikaisen tieteellisen laskennan ja insinööritieteiden ongelmat nojaavat tehokkaisiin ja vakaisiin laskennallisiin ja tilastollisiin menetelmiin. Tutkimme ja kehitämme uusia tilastollisen mallinnuksen ja numeerisen analyysin menetelmiä hyödyntäen sekä numeriikan että tilastotieteen ja koneoppimisen oivalluksia ja työkaluja. 

Suuret tutkimusinfrastruktuuriprojektit

Olemme mukana useissa eri laajan mittaskaalan tutkimusprojekteissa: 

Professori Heikki Haario on työskennellyt useiden eri satelliitikaukokartoitusprojektien parissa, kuten ENVISAT/GOMOS-missiossa. Tällä hetkellä kehitämme OCO-2-satelliitin (Orbiting Carbon Observatory-2) matemaattisia menetelmiä yhteistyössä MIT:n ja JPL/Caltechin tutkijoiden kanssa.

Professori Tapio Helin tekee yhteistyötä Euroopan Eteläisen Observatorion (ESO) kanssa. Tavoitteena on parantaa optisen teleskoopin erotuskykyä käyttämällä adaptiivista optiikkaa ja nopeita laskennallisia algoritmeja reaaliaikaiseen peilien säätöön.

Professori Lassi Roininen kehittää menetelmiä laajoihin yläilmakehän (80-1000km maanpinnan yläpuolella) tutka- ja tomografialaitteistoihin. Suurin projekti tällä hetkellä on nimeltään EISCAT3D (European Incoherent Scatter radar 3D), jonka toiminta alkaa Pohjois-Euroopassa 2021. Projekti on eurooppalaisten suurten tutkimusinfrastruktuurien ESFRI-tiekartalla (European Strategy Forum on Research Infrastructures).

• Lasse Johansson
• Theonille Mukamana
• Michel Rwema